Menggambar HP linear dan kuadrat dengan GRAPHMATICA

Pertidaksamaan Linear Dengan GRAPHMATICA

Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas bagaimana cara menggambar menggunakan GRAPHMATICA, dengan pembahasan Persamaan Linear.

Hal pertama yang harus dilakukan adalah, pastikan Program GRAPHMATICA ada dalam PC anda.

Inilah tampilan awal dari GRAPHMATICA.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

    2x – y ≤ 1

    3x + y ≤ 14

    x – 3y ≤ -2

    x ≥ 0

    y ≥ 0

Input persamaan 2x – y ≤ 1. (2x–y>=1)

Tanda ≤ dibalik menjadi '>=', karena Himpunan Penyelesaian yang kita cari adalah yang bukan di arsir. 

Lalu enter.

Input persamaan 3x + y ≤ 14. (3x+y>=14). Lalu enter.

Input persamaan x – 3y ≤ -2. (x–3y>=-2). Lalu enter.

Input persamaan x ≥ 0. (x<=0). Lalu enter.

Input persamaan y ≥ 0. (y<=0). Lalu enter.

Kemudian, beri nama. Klik Edit - Annotations (Ctrl+A). Lalu ketik 'A', lalu Place, letakkan pada titik perpotongan garis dimulai dari ujung kiri bawah. Lalu lakukan hal serupa untuk meletakkan titik B, C, D. Terakhir lakukan hal serupa, tetapi sekarang ketik 'HP'. Letakkan titik HP tersebut pada gambar yang tidak di arsir.

Hasil outputnya akan nampak seperti gambar dibawah ini.

2. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat y = x².

Klik View - Point Tables untuk mengetahui titik-titiknya.

Klik Tools - Evaluate untuk mencari nilai absis atau ordinat (x,y) jika salah satunya diketahui.

Hasil outputnya akan nampak seperti gambar dibawah ini.

3. Menghitung Integral atau Luas Daerah di Bawah Kurva Atau yang Berbatasan dengan Dua Kurva y = -x² + 3x, dan y = x.

Input persamaan y=-x²+3x, Lalu enter.

Input persamaan y=x, Lalu enter.

Kemudian hitung integralnya, dengan cara klik Calculus -Integrate.

Pada kolom equations 1, pilih y=-x²+3x. dan pada kolomequations 2, pilih y=x. Lalu Integrate From x, isi dengan nilai 0, dan To x di isi dengan 2. Lalu klik Calculate.

Result adalah hasil/nilai yang dicari.

Hasil outputnya akan nampak seperti gambar dibawah ini.

4. Menentukan Garis Singgung Parabola (Persamaan Garis) dari x² + 2x – 5y – 9 = 0.

Input persamaan x²+2x–5y–9=0. Lalu enter.

Setelah itu, klik Calculus - Draw Tangent. Kemudian klik sembarang titik pada parabola (Misalkan, pada puncak parabola). Lalu akan muncul Draw Tangen Line itulah persamaan singgungnya.

Draw Tangent at x = -1  dan y = -2, berarti kita mencari persamaan garis singgung pada titik (-1, -2). Ini adalah titik singgungnya. Slope adalah kemiringan, sedangkan Tangent Line adalah persamaan garis singgung yang dicari.

Hasil outputnya akan nampak seperti gambar dibawah ini.

Dengan menggunakan persamaan yang sama, kita mencari titik singgung di titik lain. Kemudian klik sembarang titik pada parabola. 

Lalu akan muncul Draw Tangen Line itulah persamaan singgungnya. Draw Tangent at x = -6 dan y = 3, berarti kita mencari persamaan garis singgung pada titik (-6, 3). Ini adalah titik singgungnya. 

Slopenya (-2, 0), dan Tangent Line y = -2x – 9.

Hasil outputnya akan nampak seperti gambar dibawah ini.

download disini

Diposting oleh Al Khawarizmi Sabtu, Maret 09, 2013 0 komentar

Transformasi ( Translasi, Rotasi, Dilatasi, Refleksi )

Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi) from guest6ea51d

Diposting oleh Al Khawarizmi Selasa, Januari 08, 2013 0 komentar

KEUNIKAN MATEMATIKA

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 + 10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Hebatkan?

Coba lihat simetri ini :

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 123456789876543 21

Kurang hebat ?

Sekarang lihat ini :

Jika 101% dilihat dari sudut pandangan Matematika, apakah ia sama dengan 100%, atau ia LEBIH dari 100%?

Kita selalu mendengar orang berkata dia bisa memberi lebih dari 100%, atau kita selalu dalam situasi dimana seseorang ingin kita memberi 100% sepenuhnya.

Bagaimana bila ingin mencapai 101%?

Apakah nilai 100% dalam hidup?

Mungkin sedikit formula matematika dibawah ini dapat membantu memberi jawabannya.

Jika ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

Disamakan sebagai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Maka, kata KERJA KERAS bernilai :

11 + 5 + 18 + 10 + 1 + 11 + 5 + 18 + 19 + 1 = 99%

H-A-R-D-W-O-R-K
8 + 1 + 18 + 4 + 23 + !5 + 18 + 11 = 99%

K-N-O-W-L-E-D-G -E
11 + 14 + 15 + 23 + 12 + 5 + 4 + 7 + 5 = 96%

A-T-T-I-T-U-D-E
1 + 20 + 20 + 9 + 20 + 21 + 4 + 5 = 100%

Sikap diri atau ATTITUDE adalah perkara utama untuk mencapai 100% dalam hidup kita. Jika kita kerja keras sekalipun tapi tidak ada ATTITUDE yang positif didalam diri, kita masih belum mencapai 100%.

Tapi, LOVE OF GOD
12 + 15 + 22 + 5 + 15 + 6 + 7 + 15 + 4 = 101%

atau, SAYANG ALLAH
19 + 1 + 25 + 1 + 14 + 7 + 1 + 12 + 12 + 1 + 8 = 101%

(Artinya Cinta dan Kasih Sayang ALLAH Melampaui Segalanya...)

source : http://www.facebook.com/pages/CINTA-AYAH-IBU/355817156837?ref=stream

Diposting oleh Al Khawarizmi Jumat, Januari 04, 2013 0 komentar

Cara Efektif Belajar Matematika

Bagi sebagian siswa, matematika merupakan pelajaran yang sulit. Walau pun begitu, matematika merupakan salah satu mata pelajaran dengan jam belajar yang banyak dalam seminggu, baik tingkat SD, SMP mau pun SMA. Terlebih lagi matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang masuk dalam ujian nasional, baik tingkat SD, SMP atau pun SMA.

Belajar matematika tidak seperti belajar lainnya. Matematika merupakan pelajaran berhitung, jadi jangan disamakan cara belajar antara mata pelajaran membaca dan berhitung. Belajar matematika sangat kurang efektif kalau hanya sekedar membaca kemudian menghafalkan rumus. Lalu bagaimana cara efektif belajar matematika?

Berikut ini adalah cara belajar matematika yang efektif.

1. Perbanyak berlatih soal

Memperbanyak berlatih soal adalah suatu cara agar bisa memahami rumus. Memperbanyak mengerjakan latihan soal juga bisa membiasakan kita dalam mengerjakan soal. Soal yang digunakan untuk berlatih juga jangan hanya satu tipe saja, pelajari juga berbagai tipe soal. Ketika ada ulangan dan terdapat soal yang sulit namun tipe soal sama seperti tipe soal yang pernah dipelajari, kita bisa terbantu karena punya pengalaman mengerjakan soal dengan tipe seperti itu.

2. Memahami, bukan hanya menghafalkan

Matematika merupakan mata pelajaran yang tidak jauh dari yang namanya angka dan rumus. Bisa berhitung dengan lancar namun lupa rumus, atau ingat rumus tapi salah menghitung bisa keliru dalam mengerjakan soal. Jadi, perlu adanya pemahaman rumus dan peningkatan kemmpuan berhitung. Jika lupa rumus saat mengerjakan PR, masih bisa buka buku. Tapi kalau kejadiannya adalah lupa rumus ketika ulangan? Oleh sebab itu, rumus bukan hanya sekedar dihafal, tapi juga perlu dipahami.

3. Jangan sering menggunakan kalkulator

Jika soal kimia atau fisika yang terkadang hitungannya rumit, tidak masalah menggunakan kalkulator untuk mempercepat penghitungan. Dalam UN pun mata pelajaran fisika dan kimia, ada soal-soal yang hitungannya tidak rumit.

Matematika memang pelajaran berhitung, namun jangan biasakan mengguakan kalkulator ketika mengerjakan soal. Membiasakan menghitung tanpa kalkulator bisa melatih kemampuan berhitung. Memperbanyak latihan berhitung bisa berguna untuk meningkatkan kecepatan berhitung. Daripada langsung menggunakan kalkulator, lebih baik menggunakan kalkulator untuk mencocokan hasil yang telah dihitung dengan cara manual. Intinya, jangan biasakan menggunakan kalkulator agar kemampuan dan kecepatan menghitung bisa ditingkatkan.

4. Bertanya jika ada kesulitan

Jangan sungkan-sungkan untuk menanyakan hal yang dianggap sulit yang berhubungan dengan mata pelajaran matematika. Bisa tanya kepada teman atau guru yang bersangkutan, asal yang sampai tanya kepada mbah dukun.

5. Jangan lupa waktu

Ada yang menganggap bahwa matematika itu mengasyikkan. Keasyikkan belajar matematika bisa membuat lupa waktu. Waktu berjam-jam bisa terasa sebentar.

Itulah cara belajar matematika yang efektif.

Diposting oleh Al Khawarizmi Minggu, Desember 23, 2012 0 komentar

Bentuk Tak Tentu

source klik disini

Pertanyaan : "Berapakah hasil dari enam dibagi dengan 2" ekuivalen dengan menanyakan : "Berapakah bilangan jika dikalikan dengan dua hasilnya enam". Dan jawabannya adalah "tiga".

Mengapa 0/0 disebut BENTUK TAK TENTU? Perhatikan hasil-hasil pembagian berikut ini :

(I) 0/5 = 0            0/13 = 0            0/37 = 0           dan sebagainya.

Kesimpulan : Nol dibagi berapapun hasilnya nol.

(II) 7/0 = ~           15/0 = ~           42/0 = ~           dan sebagainya.

Kesimpulan : Berapapun dibagi nol hasilnya tak terhingga.

(III) 8/8 = 1           49/49 = 1          62/62 = 1           dan sebagainya.

Kesimpulan : Setiap bilangan dibagi dengan dirinya sendiri hasilnya satu.

0/0 = 0       (baca : "Nol dibagi berapapun sama dengan nol") adalah BETUL sesuai dengan kesimpulan pertama.

0/0 = ~      (baca : "Berapapun dibagi nol sama dengan tak terhingga")  juga BENAR sesuai dengan kesimpulan kedua.

0/0 = 1       (baca : "Nol dibagi dengan dirinya sendiri sama dengan satu") juga TIDAK SALAH sesuai dengan kesimpulan ketiga.

Jadi,, nol dibagi dengan nol hasilnya boleh nol, boleh tak terhingga, boleh juga satu.Bahkan yang lebih unik lagi 0/0 = 5 juga tidak boleh disalahkan, karena faktanya 5 x 0 = 0 (invers dari pembagian adalah perkalian).

Artinya, 0/0 = bisa berapapun TERSERAH KITA! Itulah sebabnya, dalam pelajaran Limit Fungsi dikatakan bahwa 0/0 adalah BENTUK TAK TENTU yang harus dipastikan nilainya.

Diposting oleh Al Khawarizmi Senin, Desember 17, 2012 0 komentar

Matematika Rekreasi II

source klik disini

Dahulu kala di negeri Arab, tinggallah seorang Abi bersama dengan tiga orang anaknya. Anak pertama bernama Abdul. Anak kedua bernama Munif dan yang bungsu bernama Farhan (Nama-namanya emang pantes neh kalo dari Arab. Kalo namanya Jeffry kan engga pantes banget, hehehe).  Merasa umurnya tidak akan lama lagi ditambah dengan kondisinya yang sakit-sakitan plus usianya yang memang sudah tua (perfect ammadh yea menuju ajal, wkwkwk), sang Abi mengumpulkan anak-anaknya.

"Wahai para Jundi, aku merasa bahwa tak akan lama lagi aku akan meninggalkan kalian semua. Aku wariskan 23 ekor sapi untuk kalian bagi bertiga (Tapi yang diwarisin ntu bukan ekornya sapi doank lho! Lengkap dengan kepala, badan, kaki, buntut, etc). Aku harap kalian tidak saling bertengkar dan membagi warisan ini dengan adil sesuai dengan yang aku wasiatkan. Abdul..." Abi menoleh kepada anaknya yang sulung.

"Ana, Abi..." jawab Abdul singkat dari sisi kanan pembaringan Abinya.

"Sebagai anak tertua, Anta mendapat bagian paling besar... yaitu SETENGAH. Dan anta Munif..." Abi berganti menoleh ke arah Munif.

"Na'am, Abi" Munif menjawab perlahan dari sisi pembaringan sebelah kiri.

"Anta mendapat jatah SEPERTIGA. Farhan... Ayna Farhan??" Abi menoleh kesana kemari mencari anaknya yang bungsu.

Farhan datang dengan nafas terengah-engah.

"Labbaik, Abi..."  Farhan langsung mencium kening Abinya.

"Min ayna Anta??" tanya sang Abi kepada Farhan yang masih berkeringat.

"Habis menyaksikan hukum pancung untuk orang Indonesia, Bi. Kasian dehh, Ruyati binti Satubi, asal Bekasi, Jawa Barat  itu kan membunuh demi membela diri, karena dia kan akan diperkosa majikannya yang juga tetangga kita." Farhan menjelaskan alasan keterlambatannya.

"Haaah... swudah-swudah, jangan bahas itu. Itu kan cerita tahun 2011 nanti. Ingat lho, sekarang masih tahun 865. Masih 12 abad lagi. Masih tangeh... Anta sebagai Jundi Bontot mendapat bagian terkecil, yaitu SEPERDELAPAN. Fahimtum ???"

"Fahimnaa..." jawab anak-anaknya serempak.

"Eitz, satu lagi... Abi berwasiat bahwa sapi-sapi itu tidak boleh dipotong dan pembagian harus mengikuti ketentuan yang telah Abi tetapkan. Kalau kalian tidak melaksanakan wasiat ini, maka jika Abi wafat nanti, Abi akan menghantui kalian seumur hidup, ehh, seumur mati. Abi akan jadi kuntilanak..." tambah Abinya sambil memandang langit-langit kamar.

"Kuntilanak bukannya untuk hantu perempuan, Bi?!" Munif langsung menyambar petuah Abinya.

"Eh, iya ya... Aaagh, pokoknya sapinya gak boleh disembelih dan pembagian harus sesuai; setengah, sepertiga dan seperdelapan. Fahimtum??"

"Fahimnaa..." sahut anak-anaknya, lagi-lagi secara serempak.

Beberapa hari setelah itu, sang Abi-pun meninggal dunia. Inna lillahi wa inna ilayhi rooji'uuun (Mudah-mudahan sich anak-anaknya bisa melaksanakan wasiatnya neh. Kalo kaga -- dan si Abi betulan jadi hantu --  waaah bisa-bisa jadi bahan skenario film horror neh sama sutradara-sutradara dari Indonesia. Xixixi).

Dan beberapa bulan setelahnya, Abdul dan Munif mulai meributkan masalah warisan dari Abinya itu. Cuma Farhan yang keliatannya tenang-tenang saja. "Kalo jatah gue setengah, berarti bagian buat gue adalah sebelas setengah ekor sapi (1/2 dikali 23 = 11,5). Hmmm... berarti kudu dipotong kalo ingin mengikuti wasiat Abi bahwa jatah gue adalah setengah" begitu yang ada di benak Abdul. Si Sulung itu bersikukuh bahwa jatahnya adalah SETENGAH, dan tidak boleh ditawar-tawar lagi sesuai amanat Abinya. Ia tidak ingin Abinya menjadi hantu kalo bagiannya bukan setengah. Makanya sapinya harus dipotong.

Sebetulnya Munif juga tidak ingin Abinya menjadi hantu. Makanya dia lebih memilih mengalah dan tidak ingin ada satu ekorpun sapi yang dipotong. Jika dihitung jatah untuk Munif adalah 7,67 ekor sapi, engga nyampe delapan ekor (1/3 dikali 23 = 7,67). "Biarlah gue dapet tujuh ekor sapi juga lumayan. Yang penting amanat Abi adalah sapinya tidak boleh ada yang dipotong biar beliau bisa istirahat dengan tenang di alam sana dan tidak jadi hantu" begitu pikir Munif.

Perbedaan opini antara kakak beradik itu membuat keduanya bertengkar mempertahankan argumennya masing-masing. Namun yang menarik adalah : Keduanya mengatasnamakan amanat dari Abinya, dan itulah yang sesuai. Akhirnya mereka menanyakan tentang pembagian warisan yang aneh ini kepada adik bungsunya, Farhan.

"Bro... gimana nih... Gue udah beda pendapat ama Munif. Menurut gue pembagian ini harus sesuai bilangannya, makanya sapi harus dipotong. Tapi si Munif bilang sapinya gak boleh dipotong dan dia cuma mao ambil tujuh ekor aja. Kalo menurutlo gimana, Bro?" tanya Abdul kepada Farhan.

"Astaghfirullohal adziiim...  Afwan kakak-kakakku semuanyaa. Bro-Gue-Elo... itu kan bahasa-bahasa dari barat sana yang engga pantas buat kita orang Timur." nasihat Farhan kepada kedua kakaknya.

"Jiaaaah,, dia malah ceramah nih anak satu. Sok tua lo! Jadi gimana nih??" timpal Munif.

"Begini kakak-kakakku. Kita musyawarah yaa.  Biar Abi bisa beristirahat di alam sana, kita bisa kok melaksanakan semua yang diamanatkan Abi kepada kita. Sapinya tidak dipotong dan bilangan pembagiannya sesuai dengan yang ditetapkan..." lanjut Farhan seperti sedang memberikan kuliah kepada kakak-kakaknya.

"Hah?? Sotoy lo! Emang mungkin?" ujar Abdul pesimis.

"Ooooh, tidak bissa!" kata Munif menimpali.

"Kita pinjam saja satu ekor sapi kepunyaan paman untuk menghitung jatah pembagian buat kita. Tapi ingat lho, ini sapi boleh pinjam, jadi harus dikembalikan lagi." lanjut Farhan berceloteh.

Berarti bagian si Abdul adalah 12 ekor sapi. Jatah untuk si Munif adalah 8 ekor sapi sedangkan milik Farhan adalah 3 ekor sapi. Jika dijumlahkan : 12+8+3=23 ekor sapi. Masih ada satu ekor sapi lagi dan itu adalah milik sang Paman yang statusnya boleh pinjam dan harus dikembalikan (dipinjam hanya untuk menghitung doank !!)

APA YANG SALAH DARI WASIAT SANG ABI ??

Diposting oleh Al Khawarizmi Senin, Desember 17, 2012 0 komentar

Matematika Rekreasi I

source : klik disini

Kita semua sepakat bahwa setengah dari Delapan-belas adalah Sembilan.

Namun,, kitapun akhirnya (mao engga mao, suka engga suka, terima engga terima) harus mengakui juga kalo setengah dari Delapan-belas adalah Satu lebihnya dari Sembilan.

Nah,, jika kamu ditanya oleh gurumu : "Berapakah setengah dari 18?". Tidak salah jika kamu menjawab : "10", karena definisi setengah adalah separuh alias dibagi dua sama rata.

Eitz,, kamu TIDAK BOLEH jawab "10" jika pertanyaannya adalah "Berapakah setengah dikali 18?". Tetap "9" yeeah !!!

Oke, Bruer ?!

[UpDate : Selasa, 21 Juni 2011 Jam 19.37]

Yupz, buat yang belum mengerti juga kamu perhatikan aja gambarnya dehh...

10+10 = ...

• Tulislah angka 10
• Tulislah lagi angka 10 persis di bawahnya (menempel)
• Nah lhoo,,, bukannya jadi 18 ?!

Wkwkwk... jadi 10+10=18. Yahh namanya juga matematika rekreasi. Biar kita ngga terlalu pusing dengan matematika sungguhan. Tapi tetap dalam koridor LOGIKA kok sebagai nafas dari ilmu matematika.

Diposting oleh Al Khawarizmi Senin, Desember 17, 2012 1 komentar

Tokoh Matematika

Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī (Arab: محمد بن موسى الخوارزمي) adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi, dan geografi yang berasal dari Persia. Lahir sekitar tahun780 di Khwārizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850 di Baghdad. Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad.

Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama yang membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Sehingga ia disebut sebagai Bapak Aljabar. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India, kemudian diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan astrologi.

Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika, tapi juga dalam kebahasaan. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis,Algarismo yang berarti digit.

Biografi

Sedikit yang dapat diketahui dari hidup beliau, bahkan lokasi tempat lahirnya sekalipun. Nama beliau mungkin berasal dari Khwarizm (Khiva) yang berada di Provinsi Khurasan pada masa kekuasaan Bani Abbasiyah (sekarang Xorazm, salah satu provinsi Uzbekistan). Gelar beliau adalah Abū ‘Abdu llāh (Arab: أبو عبد الله) atau Abū Ja’far.

Sejarawan al-Tabari menamakan beliau Muhammad bin Musa al-Khwārizmī al-Majousi al-Katarbali (Arab: محمد بن موسى الخوارزميّ المجوسيّ القطربّليّ). Sebutan al-Qutrubbulli mengindikasikan beliau berasal dari Qutrubbull, kota kecil dekat Baghdad.

Tentang agama al-Khawārizmī', Toomer menulis :

Sebutan lain untuk beliau diberikan oleh al-Ṭabarī, "al-Majūsī",  ini mengindikasikan ia adalah pengikut Zoroaster. Ini mungkin terjadi pada orang yang berasal dari Iran. Tetapi, kemudian buku Al-Jabar beliau menunujukkan beliau adalah seorang Muslim Ortodok, jadi sebutan Al-Tabari ditujukan pada saat ia muda, ia beragama Majusi.

Dalam Kitāb al-Fihrist Ibnu al-Nadim, kita temukan sejarah singkat beliau, bersama dengan karya-karya tulis beliau. Al-Khawarizmi menekuni hampir seluruh pekerjaannya antara 813-833. Setelah Islam masuk ke Persia, Baghdad menjadi pusat ilmu dan perdagangan, dan banyak pedagang dan ilmuwan dari Cina dan India berkelana ke kota ini, yang juga dilakukan beliau. Dia bekerja di Baghdad pada Sekolah Kehormatan yang didirikan oleh Khalifah Bani Abbasiyah Al-Ma'mun, tempat ia belajar ilmu alam dan matematika, termasuk mempelajari terjemahan manuskrip Sanskerta dan Yunani.

Karya

Karya terbesar beliau dalam matematika, astronomi, astrologi, geografi, kartografi, sebagai fondasi dan kemudian lebih inovatif dalam aljabar, trigonometri, dan pada bidang lain yang beliau tekuni. Pendekatan logika dan sistematis beliau dalam penyelesaian linear dan notasi kuadrat memberikan keakuratan dalam disiplin aljabar, nama yang diambil dari nama salah satu buku beliau pada tahun 830 M, al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala (Arab الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) atau : "Buku Rangkuman untuk Kalkulasi dengan Melengkapakan dan Menyeimbangkan”, buku pertama beliau yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12.

Pada buku beliau, Kalkulasi dengan angka Hindu, yang ditulis tahun 825, memprinsipkan kemampuan difusi angka India ke dalam perangkaan Timur Tengah dan kemudian Eropa. Buku beliau diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, Algoritmi de numero Indorum, menunjukkan kata algoritmi menjadi bahasa Latin.

Patung Al-Khawarizmi di depan Fakultas Matematika Universitas Teknologi Amrikabir, Teheran, Iran

Beberapa kontribusi beliau berdasar pada Astronomi Persia dan Babilonia, angka India, dan sumber-sumber Yunani.

Sistemasi dan koreksi beliau terhadap data Ptolemeus pada geografi adalah sebuah penghargaan untuk Afrika dan Timur –Tengah. Buku besar beliau yang lain, Kitab surat al-ard ("Pemandangan Bumi"; diterjemahkan oleh Geography), yang memperlihatkan koordinat dan lokasi dasar yang diketahui dunia, dengan berani mengevaluasi nilai panjang dari Laut Mediterania dan lokasi kota-kota di Asia dan Afrika yang sebelumnya diberikan oleh Ptolemeus.

Ia kemudian mengepalai konstruksi peta dunia untuk Khalifah Al-Ma’mun dan berpartisipasi dalam proyek menentukan tata letak di Bumi, bersama dengan 70 ahli geografi lain untuk membuat peta yang kemudian disebut “ketahuilah dunia”. Ketika hasil kerjanya disalin dan ditransfer ke Eropa dan Bahasa Latin, menimbulkan dampak yang hebat pada kemajuan matematika dasar di Eropa. Ia juga menulis tentang astrolab dan sundial.

Patung perunggu Al Khawarizmi di Uzbekistan

Buku I - Aljabar

al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (Arab : الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة Buku Rangkuman Kalkulasi dengan Melengkapkan dan Menyeimbangkan) adalah bukumatematika yang ditulis tahun 830.

Buku tersebut merangkum definisi aljabar. Buku ini diterjemahkan ke dalam Bahasa Latin berjudul Liber algebrae et almucabala oleh Robert of Chester (Segovia, 1145) dan juga oleh Gerard of Cremona.

Metode beliau dalam menyelesaikan linear dan notasi kuadrat dilakukan dengan meredusi notasi ke dalam 6 bentuk standar (dimana b dan c adalah angka positif).

Sebuah halaman dari Aljabar al-Khwārizmī

• Angka ekual kuadrat (ax² = c)
• Angka ekual akar (bx = c)
• Kuadrat dan akar ekual (ax² + bx = c)
• Kuadrat dan angka akar ekual (ax² + c = bx)
• Akar dan angka kuadrat ekual (bx + c = ax²)
• Kuadrat ekual akar (ax² = bx)

Dengan membagi koefisien dari kuadrat dan menggunakan dua operasi aljabar (Arab : الجبر penyimpanan atau melengkapkan) dan al-muqābala (menyeimbangkan). Aljabar adalah proses memindahkan unit negatif, akar dan kuadrat dari notasi dengan menggunakan nilai yang sama di kedua sisi. Contohnya, x² = 40x - 4x² disederhanakan menjadi 5x² = 40x. Al-muqābala adalah proses memberikan kuantitas dari tipe yang sama ke sisi notasi. Contohnya, x² + 14 = x + 5 disederhanakan menjadi x² + 9 = x.

Beberapa pengarang telah menerbitkan tulisan dengan nama Kitāb al-ǧabr wa-l-muqābala, termasuk Abū Ḥanīfa al-Dīnawarī, Abū Kāmil (Rasāla fi al-ǧabr wa-al-muqābala), Abū Muḥammad al-‘Adlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, Ibnu Turk, Sind bin ‘Alī, Sahl bin Bišr, dan Šarafaddīn al-Ṭūsī.

Buku 2 - Dixit algorizmi

Buku besar kedua beliau adalah tentang aritmatika, yang bertahan dalam Bahasa Latin, tapi hilang dari Bahasa Arab yang aslinya. Translasi dilakukan pada abad ke-12 oleh Adelard of Bath, yang juga menerjemahkan tabel astronomi pada 1126.

Pada manuskrip Latin, biasanya tak bernama, tetapi umumnya dimulai dengan kata : Dixit algorizmi ("Seperti kata al-Khawārizmī"), atau Algoritmi de numero Indorum ("al-Kahwārizmī pada angka kesenian Hindu"), sebuah nama baru di berikan pada hasil kerja beliau oleh Baldassarre Boncompagni pada 1857. Kitab aslinya mungkin bernama Kitāb al-Jam’a wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind ("Buku Penjumlahan dan Pengurangan berdasarkan Kalkulasi Hindu").

Buku-buku lain karya al-Khawārizmī adalah :

Rekonstruksi Planetarium, Astronomi, Kalender Yahudi.

[Disadur dari WIKIPEDIA, Ensiklopedia bebas : http://id.wikipedia.org/ dengan editan seperlunya dan tambahan foto/gambar yang relevan dari Google : http://www.google.co.id/ 

Diposting oleh Al Khawarizmi Senin, Desember 17, 2012 0 komentar

Berbuat Baiklah Tanpa Pamrih

source : klik disini 

Dari ratusan komentar dalam kurun waktu satu tahun itu, ada yang bersikukuh bahwa hasil dari suatu bilangan dibagi dengan nol pada kalkulator tertulis “E” alias Error yang maksudnya tak terdefinisi. (Harusnya kita tanya langsung aja kali yee pada kalkulator, apa maksudnya “E”. Hahaha).

Tulisan berikut sekilas tak ada hubungannya dengan bahasan kita. Namun di akhir bagian, kita akan mendapat dua hal sekaligus; nasihat bijak “Berbuat baiklah tanpa pamrih” dan pengetahuan “Hasil bilangan dibagi dengan nol”.

Murid-murid saya mengkategorikan pamrih sebagai : imbalan, jasa, upah, pujian, kekaguman, predikat yang positif, penghargaan, perhatian (dari lawan jenis), acungan jempol, pengakuan kehebatan, pengharapan sesuatu, dan seabreg cabang-cabang pamrih yang lainnya.

CONTOH KASUS :

Ali membantu seorang nenek menyebrangi jalan raya. Munif juga demikian, dia membantu seorang nenek menyebrangi jalan raya. Apakah pahala yang didapat sama? (Wallohu’alam bishowab, pahala adalah urusan Allah SWT. Tulisan ini hanya contoh hitung-hitungan sederhana untuk diambil ibroh/pelajaran. Mohon jangan saklek!).

Misalnya nilai kebajikan dari membantu seorang nenek menyebrangi jalan raya adalah 24 (tanpa satuan, sekali lagi, cuma contoh!). Pahala yang didapat Ali dan Munif tentu dipengaruhi oleh seberapa besarnya pamrih keduanya dalam membantu nenek-nenek itu. Jika pahala dirumuskan (Cuma contoh) :

Jika Ali terlalu banyak pamrihnya; misalnya ingin dapat uang (karena sang nenek kaya), ingin mendekati cucunya yang cantik, ingin dibilang rajin (karena dilihat gurunya), ingin dipuji temannya dan lain-lain sampai 24 juga (misalnya), maka pahala yang di dapat Ali adalah   

Jika Munif pamrihnya hanya satu, maka pahala yang di dapat Munif sebesar  alias utuh seperti nilai kebajikannya.

Tabel berikut adalah korelasi antara Nilai Kebajikan, Pamrih dan Pahala :

Dari tabel itu menunjukkan bahwa semakin sedikit pamrih yang melekat pada suatu amal, maka akan semakin besar pahala yang kita dapatkan.

Guru-guru kita, ustadz-ustadz di pengajian, para ulama, kyai dan pemuka agama sering menasehati kita dengan : BERBUAT BAIKLAH TANPA PAMRIH ! Tanpa pamrih artinya; Pamrihnya sama dengan nol. Mungkinkah kita bisa berbuat baik tanpa pamrih? Paling-paling kita bisa meminimalkan pamrih sampai kurang dari 1 dan mendekati nol namun tidak sampai nol. Atau dalam notasi matematika ditulis : 0

Belum sampai nol! Pamrih kita keciiiiiil sekali, kita sudah mendapat pahala beratus-ratus, beribu-ribu bahkan berjuta-juta kali lipat dari nilai kebajikannya itu sendiri. Bagaimana seandainya kita memang manusia suci yang mampu berbuat baik TANPA PAMRIH ?? Berapa pahalanya?? Subhaanalloh, komputer yang canggih saja tak mampu menampung digitnya ! Apalagi hanya sebuah kalkulator! Saking banyaknya, kalkulatorpun akan mendisplay Error. Kalkulator tak sanggup menghitung pahala dari seorang mukmin yang ikhlas. Kalkulator menyerah menghitung pembagian dengan nol.

Itu artinya pembagian dengan nol memang tidak terdefinisi! Mengapa tidak terdefinisi? Karena tak terhingga! Jadi kesimpulannya : TAK TERHINGGA YANG MENYEBABKAN TAK TERDEFINISI.

So what? Berbuat baiklah tanpa pamrih!

Wallohu alam bishowab.

Diposting oleh Al Khawarizmi Senin, Desember 17, 2012 1 komentar

Matematika TKJ SMK Kelas X ( Merasionalkan )

Diposting oleh Al Khawarizmi Minggu, Desember 02, 2012 0 komentar

SPLDV

Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk:

ax + by = c
px + qy = r

maka dikatakan dua persamaan tersebut membentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).

Penyelesaian SPLDV tersebut adalah pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan di atas.

Diposting oleh Al Khawarizmi Senin, November 26, 2012 0 komentar

Diskriminan Persamaan Kuadrat atau Fungsi Kuadrat

UN Matematika SMA 2013 (SKL 2.3 Diskriminan Persamaan Kuadrat atau Fungsi Kuadrat) yang bisa adik-adik nikmati....

Diposting oleh Al Khawarizmi Senin, November 26, 2012 0 komentar

Cara Menghitung Anuitas

Perhitungan Suku Bunga Kredit Anuitas

Mungkin kita pernah mengambil kredit, baik itu kredit sepeda motor, rumah, atau kredit2 lainnya. Tapi mungkin hanya sebagian saja mengerti bagaimana cara hitung-hitungannya. Pada artikel ini saya akan membuat suatu rumusan-rumusan dari excel untuk menganalisa perhitungan tersebut. Siapa tahu ada pembaca yang ingin mengetahui lebih jelas tentang perhitungannya dan menganalisanya. Walaupun saya bukan ahli ekonomi dalam menulis artikel ini tapi alangkah baiknya untuk mengetahui bagaimana cara-cara pihak pemberi kredit dalam melakukan perhitungan. Hal ini sangat penting sekali agar kita tidak merasa tertipu dikemudian hari setelah memutuskan untuk pengambilan kredit.

Disini saya akan menerangkan cara pembentukan excel-nya, dan bisa bersama-sama untuk menganalisa hasilnya.

Dalam pembayaran kredit sebenarnya yang kita angsur ada dua bagian, yaitu angsuran terhadap pinjaman pokok dan angsuran terhadap bunga yang muncul akibat dari pinjaman tersebut.

Ada beberapa sistem perhitungan dalam  bunga kredit ini antara lainAnuitas, Efektif, Flate Rate  (Sumber  BI : http://www.bi.go.id).

Pada kesempatan ini saya menulis mengenai Anuitas terlebih dahulu.

Anuitas

Jumlah angsuran yang kita bayar kepada pihak pemberi kredit tidak berubah selama jangka waktu yang telah ditetapkan sebelumnya. Akan tetapi walaupun komposisi besarnya angsuran pokok dengan angsuran bunga akan berbeda setiap bulannya. Tetapi mengahasilkan jumlah total angsuran yang sama setiap bulannya, dimana angsuran pokok akan semakin besar sedangkan angsuran bunga akan semakin mengecil.

Rumus yang digunakan untuk mengetahui besarnya angsuran perbulan sbb :

i = Suku bunga

m = Jumlah periode pembayaran

Contoh Perhitungan :

Bank A memberikan kredit sebesar Rp 12.000.000,- selama 3 tahun (36 bulan ) dengan suku bunga 15% pertahun. Berapa jumlah yang diangsur tiap bulan oleh pihak penerima kredit, dan beri detail angsuran pokok dan bunga.

Dari rumus diatas maka didapatkan

Maka didapatkan besar angsuran yang harus dibayar setiap bulan

Rp. 415.983,94

Analisa tabelnya sebagai berikut :

Untuk lengkapnya bisa di download di sini

Pada Cell D8 diisi rumus berikut :

=($B$1*($B$3/12))/(1-1/(1+$B$3/12)^$B$2)

ini merupakan terjemahan rumus angsuran perbulan yang ada diatas.

$B$1 : merupakan pinjaman

$B$2 : jumlah angsuran

$B$3 : rate atau suku bunga

Maka ketemu nilai kolom total angsuran, yaitu angsuran pokok + angsuran bunga.

Cara mendapatkan Angsuran bunga :

Bunga = Saldo terakhir x i/12

             = 12.000.000,- x 15%/12

            = 150.000,-

Jadi pada angsuran awal untuk bunga = 150.000,-

dan dirumuskan dalam bentuk excel sbb :

=E7*$B$3/12

Sedangkan untuk angsuran dari pinjaman pokok :

angsuran pokok  = angsuran total – angsuran bunga

                                   = 415.983,94 – 150.000

                                   = 265.983,94

jadi angsuran pokok awal  265.983,94

dan dalam rumus excel sbb :

=D8-C8

Dari tabel terlihat untuk Angsuran pokok yang dibayar semakin besar, sedangkan angsuran bunga yang harus dibayar semakin turun.

untuk lebih jelasnya silahkan juga di baca artikel dibawah ini...

Menghitung Anuitas

Besar Anuitas

Besar anuitas adalah besarnya angsuran ditambah dengan bunga yang diperhitungkan.

Misal :

Pak Thomas tiap bulan membayar kredit rumahnya yang terdiri dari angsuran sebesar
Rp. 300.000,00 dan bunga sebesar Rp. 125.000,00,
maka:
anuitas yang dibayarkan adalah Rp. 425.000,00 (Rp.300.000,00 + Rp. 125.000,00).
Artinya:
anuitas kredit rumah yang harus dibayar Pak Thomas tiap bulan sebesar Rp. 425.000,00.

Menghitung Besarnya Anuitas

Untuk menentukan besarnya anuitas digunakan pula rumus sebagai berikut :

	atau

Agar lebih jelas menggunakan rumus tersebut perhatikan contoh berikut !

Josima meminjam uang dari Bank BRI sebesar Rp. 10.000.000,00 pembayaran dilakukan dengan cara anuitas dengan memperhitungkan bunga 2% per bulan. Pinjaman lunas selama 3 tahun dengan pembayaran bulanan. Berapa jumlah pembayaran (anuitas) yang harus dibayar Josima tiap bulan?

Penyelesaian :

Diketahui :       M = Rp. 10.000.000,00
                        i   =  2% per bulan
                        n  = 3 tahun = 36 bulan

Rumus     :

Maka    :

Jadi, besarnya Anuitas adalah sebesar Rp. 329.328,53 

Anuitas dan Pembulatan

Bila diperhatikan perhitungan anutas sebelumnya nilai rupiah kurang realistis, karena hasilnya lebih dari dua angka dibelakang koma, sedangkan kenyataannya pembayaran dalam pecahan rupiah pun sulit dilakukan. Oleh karena itu agar hasilnya lebih realistis dilakukan pembulatan.
Pembulatan dapat dilakukan dalam puluhan rupiah, ratusan rupiah atau ribuan rupiah baik keatas maupun kebawah.

Misal nilai anuitas sebesar Rp. 16,461,721.82 dibulatkan sebagai berikut :
Dalam puluhan rupiah menjadi Rp. 16.461.720,00
Dalam ratusan rupiah menjadi Rp. 16.461.700,00
Dalam ribuan rupiah menjadi Rp. 16.462.000,00

Akibat pembulatan tersebut akan terjadi kelebihan atau kekurangan pembayaran. Kelebihan atau kekurangan ini diperhitungkan pada pembayaran anuitas terakhir.

Jadi besarnya Anuitas adalah sebesar Rp. 392.328,53

Agar lebih jelasnya, ikutilah contoh ini:

Andra meminjam uang sebesar Rp. 50.000.000,00 pinjaman itu akan dilunasi dengan cara anuitas selama 2 tahun yang pembayarannya setiap 6 bulan. Bunga yang ditetapkan 24% per tahun. Hitunglah besarnya Anuitas yang dibulatkan dalam ratusan rupiah dan buatlah tabel rencana angsuran !

Penyelesaian :

Diketahui :        M = Rp. 50.000.000,00
                         i  = 24% per tahun = 12% per 6 bulan (semester)
                         n = 2 tahun = 4 semester

Rumus     :         

Maka:  

Dibulatkan menjadi Rp. 16.461.700,00

Membuat Rencana Angsuran

Untuk memastikan benar tidaknya perhitungan sebaiknya disusun rencana pelunasan angsuran anuitas sampai terakhir. Pada anuitas terakhir angsuran utang jumlahnya harus nol. Jika ternyata tidak nol berarti ada kesalahan atau selisih terjadi karena pembulatan.

Agar lebih jelasnya, ikuti contoh berikut:

Andra meminjam uang sebesar Rp. 50.000.000,00 pinjaman itu akan dilunasi dengan cara anuitas selama 2 tahun yang pembayarannya setiap 6 bulan. Bunga yang ditetapkan 24% per tahun. Hitunglah besarnya Anuitas dan buatlah tabel rencana angsuran !

Penyelesaian :

	Diketahui :	M = Rp. 50.000.000,00 i  = 24% per tahun = 12% per 6 bulan (semester) n = 2 tahun = 4 semester
	Rumus     :
	Maka       :	A = 16.461.761,82

Menentukan Angsuran Periode Tertentu

Adakalanya kita ingin mengetahui, berapa angsuran pada periode tertentu. Besarnya angsuran pada periode tertentu dapat dihitung dengan rumus :

Atau menggunakan table rencana angsuran.

Keterangan :
      a_n  = Angsuran periode tertentu atau ke n
      A   = Anuitas
      M  = Jumlah uang yang dipinjam
      i    = Suku bunga
      n   = Periode tertentu atau ke n

Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut!

Dini memperoleh kredit sebesar Rp. 8.500.000,00 yang dibayar secara anuitas selama 6 tahun dengan anuitas sebesar Rp. 2.246.000,00 maka besarnya angsuran ke 3 adalah….

Penyelesaian :

	Diketahui :	A = Rp. 2.246.000,00 M = Rp. 8.500.000,00 i  = 15% per tahun n = 3
	Rumus     :
	Maka       :	a3 = {2.256.000 – (8.500.000 x 0,15)}(1 + 0,15)3-1      = (2.256.000 – 1.275.000) x (1 + 0,15)3-1      = 971.000 x 1,152      = 971.000 x 1.3225      = 1.284.147,50
Dengan table:

Menentukan Sisa Utang Periode Tertentu

Adakalanya kita ingin mengetahui, berapa Sisa Utang pada periode tertentu. Besarnya sisa utang pada periode tertentu dapat dihitung dengan rumus :

Keterangan :
       a₁  = Angsuran periode ke 1 = A - Mi
       A    = Anuitas
       M   = Jumlah uang yang dipinjam
       i     = Suku bunga
       n   = Periode tertentu atau ke n

Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut!

Dini memperoleh kredit sebesar Rp. 8.500.000,00 yang dibayar secara anuitas selama 6 tahun dengan anuitas sebesar Rp. 2.246.000,00 maka besarnya sisa utang ke 3 adalah...

Penyelesaian :

	Diketahui :	A   = Rp. 2.246.000,00 M  = Rp. 8.500.000,00 i    = 15% per tahun n   = 3
	Rumus    :
	Maka      :	a1 = A – Mi SU3	= 2.246.000 – (8.500.000x0,15) =971.000 = 8.500.000 – 971.000{1 + ∑(1 + 0,15)3-1 } = 8.500.000 – 971.000 {1 +∑(1,015)2 } = 8.500.000 – 971.000 { 1 + 2.4725} = 8.500.000 – 971.000 (3,4725) = 8.500.000 – 3.371.797,50 = 5.128.202,50
	Dengan tabel :

Menentukan Bunga pada Periode tertentu

Adakalanya kita ingin mengetahui, berapa Bunga pada periode tertentu. Besarnya bunga pada periode tertentu dapat dihitung dengan rumus :

	Keterangan :	a1 = Angsuran periode ke 1 = A - Mi A   = Anuitas M  = Jumlah uang yang dipinjam i    = Suku bunga n   = Periode tertentu atau ke n
	Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut! Dini memperoleh kredit sebesar Rp. 8.500.000,00 yang dibayar secara anuitas selama 6 tahun dengan anuitas sebesar Rp. 2.246.000,00 maka besarnya bunga pada periode ke 3 adalah…. Penyelesaian :
	Diketahui :	A   = Rp. 2.246.000,00 M  = Rp. 8.500.000,00 i    = 15% per tahun n   = 3
	Rumus      :
	Maka         :	a1 = A – Mi Bunga3	= 2.246.000 – (8.500.000x0,15) = 971.000 = 2.246.000 - 971.000 ( 1 + 0,15) 3-1 = 2.246.000– 971.000x 1,152 = 2.246.000– 971.000x1.3225 = 2.246.000– 1.284.147,50 = 961.852,50
	Dengan tabel:
	sumber : http://soerya.surabaya.go.id/AuP/e-DU.KONTEN/edukasi.net/Ekonomi/Anuitas/materi3.html

Diposting oleh Al Khawarizmi Jumat, November 23, 2012 4 komentar